FHE学习笔记 #2 多项式环( 二 ) _生活百科

设可换幺环 \(R\) 是可换幺环 \(\widetilde{R}\) 的子环，且它们拥有相同的么元，\(u \in \widetilde{R}\) 若存在 \(R\) 中的元素 \(\left\{a_i\right\}_{i=0}^n\)（其中至少某个 \(a_i \neq 0\)）使得 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\)，则称 \(u\) 是 \(R\) 上的代数元，否则称其为 \(R\) 上的超越元。

从定义中即可看到，\(u \in R\) 必然是代数元，因为我们总是可以取 \(a_0=-u, a_1=1\) 使得 \(a_0+a_1 u=0\) 。
因此在讨论代数元与超越元的时候，我们通常只是在 \(\widetilde{R} \backslash R\) 当中考虑。

在 \(R\) 上可以通过添加代数元或超越元可以生成环 \(R[u]\) 。
如果借用前文所述「线性相关」的说法，可以看到：

\(u\) 是超越元：对于任意的 \(n\)，\(u^0, \ldots, u^n\) 都是「线性无关」的
\(u\) 是代数元：对某个 \(n\)，\(u^0, u, \ldots, u^n\) 是「线性相关」的

对于代数元 \(u\)，可以额外引入其次数 Degree 的概念，符号为 \(\operatorname{deg}(u, R)\)，定义如下:
\[\begin{gathered}\operatorname{deg}(u, R):=\min \left\{n \in \mathbb{N}\mid \exists\{a_i\}_{i=0}^n \subseteq R \text { s.t. } \sum_{i=0}^n a_i u^i=0 \wedge \exists m\in \mathbb{N}(0 \leq m \leq n, a_m \neq 0)\right\}\end{gathered}\]

人话版本就是找到一个最小的自然数 \(n\)，使得一个系数不全为 0 的多项式 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\) 。
另一种等价表示是：
\[\begin{gathered}\operatorname{deg}(u, R):=\min \left\{n \in \mathbb{N}\mid \exists\{a_i\}_{i=0}^n \subseteq R \text { s.t. } \sum_{i=0}^n a_i u^i=0 \wedge a^n\not=0\right\}\end{gathered}\]其实只要要求最后一个 \(a^n\not=0\) 即可，因为如果 \(a^n=0\wedge\exists i\in[0,n-1],a^i\not=0\) 使得 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\)，那么系数应该至多为 \(i\) 才对，而不是 \(n\) 。
例子：

\(\operatorname{deg}(\sqrt{-1}, \mathbb Z)=\operatorname{deg}(\sqrt{-1}, \mathbb Q)=2\)，因为没有实数 \(a_0,a_1\) 可以使得 \(a_0+a_1\times\sqrt{-1}=0\)，而 \(1+0\times\sqrt{-1}+1\times(\sqrt{-1})^2=0\)

\(\operatorname{deg}(\sqrt{-1}, \mathbb C)=1\)，在复数域上可以取 \(1,\sqrt{-1}\)，使得 \(1+(\sqrt{-1})\times(\sqrt{-1})=0\)

一元多项式环和一元多项式有了上述铺垫之后，我们就可以定义一元多项式了:
设 \(u\) 是可换幺环 \(R\) 上的超越元（不定元），则称 \(R[u]\) 为 \(R\) 上的一元多项式环，它里面的元素被叫做一元多项式，记为 \(f(u)=\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i=0\end{aligned}\) 。

次数最高项系数为 1 的多项式称为首一多项式 Monic Polynomial

我们之所以要求 \(u\) 是不定元, 主要是因为我们希望得到下面的一个结论:
设 \(R[u]\) 是交换么环 \(R\) 上的一元多项式环，\(\begin{aligned}f_1(u)=\sum_{i=0}^n a_i u^i\end{aligned}\) 和 \(\begin{aligned}f_2(u)=\sum_{i=0}^m b_i u^i\end{aligned}\)，则 \(f_1(u)=f_2(u)\) 当且仅当：

\(a_i=b_i\) 对任意 \(i, 0 \leq i \leq \min (m, n)\) 成立
当 \(i>\min (m, n)\) 之后必须恒有 \(a_i=0\)（如果 \(n>m\)）或 \(b_i=0\)（如果 \(m>n\)）

根据不定元的性质进行证明:
不妨设 \(m \leq n\), 则 \(f_1(u)=f_2(u)\iff f_1(u)-f_2(u)=0\)，这就等价于
\[\sum_{i=0}^m\left(a_i-b_i\right) u^i+\sum_{j=m+1}^n a_i u^j=0\]而根据不定元的要求，此时必须有
\[\begin{aligned}a_i-b_i &=0,0 \leq i \leq m \\a_i &=0, m+1 \leq i \leq n\end{aligned}\]这就表明 \(p_1(u)\) 自 \(a_{m+1}\) 开始（包括它自身）后续的 \(a_i\) 都是零，且前面的 \(m+1\) 项恒有 \(a_i=b_i\) 。

如果我们不对 \(u\) 做要求，就会使得多项式环中元素的多项式表示不唯一，两个多项式的相等关系就很难建立起来，给研究带来困难。

但是存在可换幺环没有不定元，此时多项式表示不唯一。

在定义中，每个多项式都可以写成 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i\end{aligned}\) 的样子，这里的 \(n\) 是不固定的，所以上述定理中两个相等的多项式可以相差任意个零系数因子 \(0 u^n\)，为了排除这种情况，对 \(R[u]\) 中多项式元素的表示进行处理：