——卡尔·弗里德里希·高斯
这个问题真正的实质性进展出现在20世纪20年代 。当时有两种代表性的思想，一种是英国数学家哈代和利特伍德在1923年使用的哈代-利特伍德圆法，另一种是挪威数学家维果·布伦使用的布朗筛法[7，8] 。
图片:维基百科，圣安德鲁斯大学
哈迪(左)、利特伍德(中)和布朗(右) 。英国数学家哈代是20世纪英国分析学派的代表人物 。他的研究对后来的分析和数论的发展产生了深远的影响 。李，英国数学家，研究领域涵盖数论和数学分析，与哈代合作35年 。挪威数学家布朗，在数论领域的工作极大地推动了哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的研究 。
借助上述方法，哈代和利特伍德在1923年的论文中证明了在假设广义黎曼猜想的前提下，每一个足够大的奇数都可以表示为三个素数之和，几乎每一个足够大的偶数都可以表示为两个素数之和[6] 。这里的广义黎曼猜想是指用狄利克雷L函数代替黎曼猜想中的黎曼函数，其他表达式不变 。哈代和利特伍德的工作使哥德巴赫猜想的证明向前迈进了一大步 。
利用上述方法，Brown在1919年证明了每一个足够大的偶数都可以写成两个数的和，而这两个数中的每一个都是不超过9个质因数的乘积[7]，因此上述结论也被记录为9+9 。按照布朗的思路，如果最终能把质因数的个数减少到1，也就是最终证明1+1，那么就意味着证明了哥德巴赫猜想 。
冲刺：鼓舞人心的号角陈景润的每一份工作，似乎都走在喜马拉雅山的顶端 。
——安德烈·维尔
上述两种思想在20世纪得到了极大的发展 。这也极大地促进了哥德巴赫猜想和弱哥德巴赫猜想的证明 。1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫在研究弱哥德巴赫猜想方面取得了重大突破[10] 。在圆方法的基础上，他去掉了哈代和利特伍德证明中对广义黎曼猜想的依赖，充分证明了足够大的奇素数可以写成三个素数之和，即哥德巴赫-维诺格拉多夫定理 。但维诺格拉多夫无法给出足够大的下限，因此寻找这个下限成为弱哥德巴赫猜想的主要研究方向 。2013年，秘鲁数学家哈拉尔·安德烈斯·赫尔夫格特(Harald Andrs Helfgott)成功地将维诺格拉多夫足够大的下限降低到约10的29次方 。这个极限下的奇数全部被计算机验证，所有结果无一例外地满足猜想，从而最终完成了弱哥德巴赫猜想的证明[11] 。
图片:维基百科
维诺格拉多夫(左)和哈罗德·霍夫戈特(右) 。伊万·维诺格拉多夫，马特维耶维奇，苏联解析数论专家，是斯基洛夫数学研究所所长 。哈罗德·霍夫戈特，秘鲁数学家，法国国家科学院和巴黎师范大学研究员 。
相比较而言，研究强哥德巴赫猜想相对更难 。然而，自20世纪上半叶以来，数学家们遵循布朗筛方法的研究思路取得了很大进展 。布朗证明9+9后不久，1924年，德裔美国数学家拉德马赫成功证明了7+7 [12]，1932年，德国数学家埃斯特曼证明了6+6 [13]，1938年，苏联数学家亚历山大 。布希斯塔和德国数学家亚历山大 。
拉德马赫图片来源:数学基因项目
埃斯特曼图片来源:牛津大学出版社
与以往的数论方法相比，布朗筛方法具有很强的组合数学特性，应用更加复杂 。因此，在研究过程中，数学家们不断改进原有的筛选方法 。考虑到在以往的证明中，命题a+b总是与一个筛选函数的估计直接相关，得到的结果相对较弱 。1941年，p .库恩提出了加权筛选法，通过这种方法，我们可以基于筛选函数的相同上下限得到强有力的结果 。比如库恩在1954年给出了a+b ^ 7[8]，即每一个偶数都可以写成两个数的和，这样它们的质因数之和就小于7 。挪威数学家阿特勒·塞尔伯格在1950年前后提出的塞尔伯格筛方法[15]使哥德巴赫猜想的研究向前迈进了一大步 。塞尔伯格通过寻找二次极值极大地改进了筛选方法，从二次极值可以估计筛选函数的上界，结合Buch希塔恒等式可以估计筛选函数的下界 。在此基础上，维诺格拉多夫、王元等数学家相继完成了3+3、a+b (a+b 6)和2+3的证明[10] 。
塞尔伯格图片来源:维基百科
布赫希塔布图片来源:liveinternet.ru
挪威数学家阿特勒·塞尔伯格 。他的研究兴趣包括解析数论和自律形式理论 。他获得了1950年的菲尔兹奖和1986年的沃尔夫数学奖 。苏联数论专家亚历山大·布克·希塔以对筛法的研究而闻名 。
在上面的结果中，很遗憾不能证明一个偶数被除的两个数中有一个一定是素数 。主要原因是当我们需要估计筛函数S(A，P，z)的上界和下界来证明一个形如1+x的命题时，需要估计主项和余项，并证明余项相对于主项可以忽略 。这有点类似于圆法的思想 。但是，1+x的估计涉及算术级数中素数分布的中值定理，需要用到复解析数论 。
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